–119

دانشگاه صنعتی خواجه نصیر الدین طوسی
پایان نامه کارشناسی ارشد
مهندسی مکانیک – طراحی کاربردی
عنوان پایان نامه:
تحلیل تنش، تخمین رفتار و خواص الاستیک نانولولههای کربنی تحت بارگذاری کششی
نگارش:
محمد امینی سرابی
استاد راهنما:
دکتر علی شکوهفر
شهریور ماه 1389

تقديم
به سايهي با شكوه زندگيم
آنكه با خم شدن قامت خود قامتم را استوار نگاه داشت:
((پدر عزيزم))
به طراوت زندگيم
آنكه خود سوخت و با گرماي عشقش معناي زندگي را به من آموخت:
((مادر مهربانم))
و به همهي عزيزاني كه با لطف خود بارقهاي از محبت و معرفت را به من آموختند
چکیده
در سالهاي اخير اكثر تحقيقات بر روي بارگذاري فشاري و تركيبي به منظور بررسي كمانش ساختارهاي نانولولهها متمركز شدهاند و بدين منظور كارهاي انجام گرفته بر روي بارگذاري كششي بسيار محدود ميباشد. از آنجا كه نتايج بارگذاريهاي فشاري و كششي در نانولولههاي كربن كاملاً متفاوتند (به دليل اثر بر هم كنشهاي دافعه و جاذبه در اين ساختارها كه ماهيت و مقدار متفاوتي دارند)، بنابراين همچنان كارهاي تحقيقاتي بر روي اين ساختارها تحت بار كششي مطلوب محققين بوده و هم اكنون نيز در حال بررسي ميباشد.
نتایج این تحقیق که در حقیقت از یک تئوری تحلیلی قوی با ترکیب روابط انرژی کرنشی با پتانسیلهای انرژی مولکولی و نیز استفاده از تقریبهای خطی و مرتبه بالا و نیز مدل سازی نرم افزاری با استفاده از نرمافزار تخصصی لمپس میباشد اینگونه نشان می دهد که تغییرات مدول الاستیک با تغییرات قطر و یا اندیس نانولولهها نسبت عکس داشته و با افزایش قطر و کاهش اثر انحنا مدول الاستیک نانولولهها نیز کاهش می یابد. همچنین نمودارهای تنش – کرنش مشابه نمودارهای مواد ترد بوده با این تفاوت که درصد افزایش طول و تنش ماکزیمم بیشتری در آنها مشاهده میشود. رفتار مکانیکی نانولولهها در مدل سازی نرم افزاری تا مرز شکسته شدن اولین پیوند در این ساختارها شبیه سازی شده است و اختلاف موجود در مقادیر تنش و کرنش بین مدل سازی نرم افزاری و نمودارهای روش تحلیلی ناشی از تاثیرات عوامل محیطی همچون دما و فشار، ناپایداریهای درون ساختاری در ناحیه غیر خطی و اثر پارامترهای طول، نرخ کرنش و … بوده که مطابق با واقعیت و منطقی میباشد.
فهرست مطالب

فصل اول (مقدمه)
TOC o “1-3” h z u 1-1 مقدمه PAGEREF _Toc273394734 h 22-1 تابع پتانسيل مورس اصلاح شده PAGEREF _Toc273394735 h 93-1 توابع پتانسيل ترسوف- برنر و ترسوف PAGEREF _Toc273394736 h 114-1 توابع پتانسيل نسل دوم مرتبه پیوند تجربی واکنشی و لنارد جونز 6-12 PAGEREF _Toc273394737 h 12فصل دوم (تخمین مدول الاستیک)
1-2 فرمولاسیون مرجع PAGEREF _Toc273394738 h 181-1-2 پتانسیل انرژی PAGEREF _Toc273394739 h 202-1-2 تابع پتانسیل مورس اصلاح شده PAGEREF _Toc273394740 h 203-1-2 تابع پتانسیل ترسوف PAGEREF _Toc273394741 h 214-1-2 فرمولاسیون با استفاده از تابع پتانسیل مورس اصلاح شده PAGEREF _Toc273394742 h 225-1-2 فرمولاسیون با استفاده از تابع پتانسیل ترسوف PAGEREF _Toc273394743 h 232-2 تحلیل ساختاری PAGEREF _Toc273394744 h 241-2-2 اثر انحنا PAGEREF _Toc273394745 h 312-2-2 ساختار آرمچیر PAGEREF _Toc273394746 h 313-2-2 ساختار زیگزاگ PAGEREF _Toc273394747 h 323-2 نتایج و مباحث PAGEREF _Toc273394748 h 35فصل سوم (تخمین رفتار مکانیکی)
1-3 مقدمه PAGEREF _Toc273394749 h 422-3 فرمولاسیون مرجع PAGEREF _Toc273394750 h 423-3 تحلیل ساختاری PAGEREF _Toc273394751 h 441-3-3 ساختار آرمچیر PAGEREF _Toc273394752 h 482-3-3 ساختار زیگزاگ PAGEREF _Toc273394753 h 493-3-3 اثر انحنا PAGEREF _Toc273394754 h 504-3 نتایج و مباحث PAGEREF _Toc273394755 h 53فصل چهارم (مدل سازی نرم افزاری)
1-4 مدل سازی PAGEREF _Toc273394756 h 592-4 مباحث و نتایج PAGEREF _Toc273394757 h 61فصل پنجم (نتیجه گیری و پیشنهادات)
نتیجه گیری و پیشنهادات PAGEREF _Toc273394758 h 67لیست مقالات ارائه شده PAGEREF _Toc273394759 h 70فهرست مراجع PAGEREF _Toc273394760 h 71
فهرست نمودارها و اشکال
فصل اول (مقدمه)
TOC f F h z t “شکل” c شكل 1-1. بردار کایرال در نماي شماتيك ساختار نانولوله كربن PAGEREF _Toc273397167 h 5شكل 2-1. الگوهاي ساختاري آرمچیر، زیگزاگ و کایرال PAGEREF _Toc273397168 h 6شكل 3-1. نمايش ترمهاي انرژي در صفحه ي گرافيتي PAGEREF _Toc273397169 h 8فصل دوم (تخمین مدول الاستیک)
شکل 1-2. صفحه ی گرافیتی (گرافین) تک جداره تحت تنش کششی PAGEREF _Toc273397170 h 24شکل 2-2. راستای طولی نانولوله تک جداره آرمچیر PAGEREF _Toc273397171 h 25شکل 3-2. تحلیل نیرویی پیوند کربن – کربن در راستای طولی نانولوله کربنی تک جداره آرمچیر PAGEREF _Toc273397172 h 26شکل 4-2. راستای طولی نانولوله تک جداره زیگزاگ PAGEREF _Toc273397173 h 28شکل 5-2. تحلیل نیرویی پیوندهای کربن – کربن در راستای طولی نانولوله کربنی تک جداره زیگزاگ PAGEREF _Toc273397174 h 29شکل 6-2. اثر انحنا در تحلیل نیرویی نانولوله تک جداره آرمچیر PAGEREF _Toc273397175 h 31شکل 7-2. اثر انحنا در تحلیل نیرویی نانولوله تک جداره زیگزاگ PAGEREF _Toc273397176 h 32نمودار 1-2. نمودار تغییرات مدول الاستیک نانولوله تک جداره آرمچیر بر حسب تغییرات قطر PAGEREF _Toc273397177 h 35نمودار 2-2. نمودار تغییرات مدول الاستیک نانولوله تک جداره زیگزاگ بر حسب تغییرات قطر PAGEREF _Toc273397178 h 36نمودار 3-2. مقایسه تغییرات مدول بر حسب قطر دو ساختار آرمچیر و زیگزاگ PAGEREF _Toc273397179 h 37نمودار 4-2. نمودار تغییرات مدول الاستیک بر حسب تغییرات ضخامت نانولوله آرمچیر (10و10) PAGEREF _Toc273397180 h 38نمودار 5-2. نمودار تغییرات مدول الاستیک بر حسب ضخامت نانولوله زیگزاگ (0و17) PAGEREF _Toc273397181 h 38فصل سوم (تخمین رفتار مکانیکی)
نمودار 1-3. نمودار تنش – کرنش نانولوله تک جداره آرمچیر (10و10) PAGEREF _Toc273397182 h 53نمودار 2-3. نمودار تنش – کرنش نانولوله تک جداره زیگزاگ (0و17) PAGEREF _Toc273397183 h 54نمودار 3-3. نمودار تغییرات تنش نانولولههای تک جداره آرمچیر با اندیس نانولوله PAGEREF _Toc273397184 h 56نمودار 4-3. نمودار تغییرات تنش نانولولههای تک جداره زیگزاگ با اندیس نانولوله PAGEREF _Toc273397185 h 57فصل چهارم (مدل سازی نرم افزاری)
نمودار 1-4. نمودار تنش – کرنش نانولوله تک جداره آرمچیر (10و10) با استفاده از مدل سازی با نرم افزار لمپس PAGEREF _Toc273397186 h 62نمودار 2-4. نمودار تنش – کرنش نانولوله تک جداره زیگزاگ (0و17) با استفاده از مدل سازی با نرم افزار لمپس PAGEREF _Toc273397187 h 62شکل 1-4. شروع شکسته شدن اولین پیوند و رخ دادن تغییر شکل در ساختار نانولوله کربن تک جداره PAGEREF _Toc273397188 h 63
فهرست جداول
TOC f F h z t “جدول” c جدول 1-2. مقایسه مدول الاستیک این تحقیق با مدول الاستیک سایر کارهای مشابه با ضخامتهای مختلف برای نانولوله تک جداره زیگزاگ (0و17) PAGEREF _Toc273397516 h 40جدول 1-4. مقایسه ی مدول الاستیک نانولولههای کربن تک جداره با استفاده از روش تلفیقی و مدل سازی نرم افزاری PAGEREF _Toc273397517 h 64
فهرست علائم و اختصارات
Ch(n,m) ……………………………………………………………………………………….. بردار کایرال
DSWCNT .…….…………………………………………………………… قطر نانولوله کربنی تک جداره
n , m .……………………………………………………………………………… اندیسهای نانولوله
b …………………….. طول تعادلی پیوند کربن – کربن در ساختار نانولوله کربنی تک جداره
Etot …………………………………………………………………………………. انرژی کرنشی کل
Uρ .……………………………………………………………. انرژي پيوندي ناشي از كشش پيوند
Uθ ………………………… انرژي پيوندي ناشي از تغيير زاويهي پيوند با پيوند همسایه
Uw .…………………………………………………………….……………. انرژي پيوندي معكوس
Uτ ……………………………………………………………………….. انرژي پيوندي پيچشي
UVdw ..………………….…….. انرژي غير پيوندي حاصل از بر هم كنش نيروهاي وان در والس
Ues .……………………….. انرژي غير پيوندي ناشي از بر هم كنش نيروهاي الكترواستاتيكي
Ki ………………………………………………………………………..… ثابت نيرو در اثر كشش
Cj ………………………………………………………………….… ثابت نيرو در اثر تغيير زاويه
dRi ……………………………………………………………….………………. تغيير طول پيوند
dθj ………………………………………..………………………………….. تغيير زاويهي پيوند
Estretch ……………………………..……………… انرژي پيوند در اثر كشيدگي و تغيير طول پيوند
Eangle ………………………………………………………. انرژي پيوند در اثر تغيير زاويهي پيوند
r ………………………………………………………………………………. طول جاري پيوند
θ …………………………………………………………. زاويه ي جاري پيوند با پيوند مجاور
r0 ………………..……………………. طول تعادلی پیوند کربن – کربن در ساختار نانولوله
bij ………………………………………………………….… j تاi ترم كوپلينگ پيوندی از اتم
bij ………………………………………………………….……………… مرتبه ي تجربي پيوند
fc(rij) ……………………………………………………………………………… تابع قطع كننده
Rij و Sij ……………………….……………………… محدودههای پایین و بالای تابع قطع کننده
VR(rij) .……………………….…………………. اثر بر هم كنش ناشي از نيروهاي دافعه پيوندي
VA(rij) ………………………..………………….. اثر بر هم كنش ناشي از نيروهاي جاذبه پيوندي
Cn,k ……………………………………………………………….…………… ضرايب لبه مکعبی
ELJ ……………………………………………………………… تابع پتانسيل لنارد جونز 6-12
εij ……………………………………………………………………. ضريب انرژي خوش عمق
σij ………………………….…………………………………………….. ضريب فاصله تعادلي
u ……………………………………………………………………….. چگالی انرژی کرنشی
V …………………………………………………….…….. حجم نانولوله کربنی تک جداره
σ …………………………………………………..……………… تنش کل وارده بر نانولوله
E …………………………………….…………………………………….. انرژی کرنشی کل
Y ………………………………….…………………………………………. مدول الاستیک
A ……………………………..………… مساحت سطح مقطع نانولوله کربنی تک جداره
r ……………………………………..……………………………………….. شعاع نانولوله
t ………………………..……………………………….………………… ضخامت نانولوله
L ……………………………………………………………………. طول کل اولیه نانولوله
ε ……………………………………………………………………….. کرنش کل نانولوله
γ …………………………………………………………….. ضریب مقایسه و ساده سازی
δL ……………………………………………………………….…. تغییر طول کل نانولوله
P ……………………………………………. نیروی کل وارد شده بر یک انتهای نانولوله
f …………………………………………………………………….. نیروی منتجه پیوندی
δb ……………………………………..………………………………… تغییر طول پیوندی
De , β, S ……………………..…………………. ثوابت فیزیکی ساختار کربن، گرافیت و الماس
Re ………………………………………………………….. طول اولیه پیوند کربن – کربن
N1 …………………………….. تعداد پیوندهای مورب در راستای طولی ساختار آرمچیر
N2 …………………….……….. تعداد پیوندهای افقی در راستای طولی ساختار زیگزاگ
N3 ….…………….…………… تعداد پیوندهای مورب در راستای طولی ساختار زیگزاگ
δb1 ………………..……………………… تغییر طول پیوندهای افقی در ساختار زیگزاگ
δb2 ………………………………….….. تغییر طول پیوندهای مورب در ساختار زیگزاگ
σa ……………………………..…………. تنش کل وارده بر نانولوله تک جداره آرمچیر
εa ……………………………………………………………. کرنش کل نانولوله آرمچیر
σz ……………………………………….. تنش کل وارده بر نانولوله تک جداره زیگزاگ
εz ……………………..…………………………….. کرنش کل نانولوله زیگزاگ
Kna ……………………… ضریب وابسته به کرنش رابطه تنش – کرنش نانولوله آرمچیر
Knz ………………..…… ضریب وابسته به کرنش رابطه تنش – کرنش نانولوله زیگزاگ
Ucnt ……………………………….……….. ضریب ثابت رابطه تنش – کرنش نانولولهها
σu ………………………………………….…………………………… تنش کل نانولوله
εu ……………………………………………………………..………. کرنش کل نانولوله
Ku ……………………………… ضریب وابسته به کرنش رابطه تنش – کرنش نانولوله
Qθ ………………………..………………………………………………….. ضریب انحنا
Knθz …………. ضریب اصلاحی وابسته به کرنش رابطه تنش – کرنش نانولوله زیگزاگ
m , d …………………….…………………. حد بالای عبارات جمع روابط تنش – کرنش
فصل اول
(مقدمه)
1-1 مقدمهپس از اولين آزمايش عملي در سال 1991 توسط ایجیما 1 ]1[ بر روي نانولولههاي كربن، اكثر توجهات به سمت اين مواد و تخمين خواص مختلفشان كشيده شد. خواص مكانيكي بسيار بالا در مقابل وزن پائين، خواص الكتريكي و حرارتي عالي، از جمله خصوصيات منحصر به فردي هستند كه نانولولههاي كربن را تبديل به ساختارهايي بي بديل در دنياي امروز و كانون توجه انواع علوم مهندسي به خصوص مهندسي مكانيك نموده اند. تحليل مكانيك ساختاري اين مواد و تخمين خواص مكانيكي آنها با استفاده از روشها و ايدههاي مختلف تا به امروز همواره مورد توجه محققين بوده است. نتايج كلی اين گونه نشان مي دهد كه از نظر مكانيكي نانولولههاي كربن مقاومت كششي در حدود 20 برابر فولادي با بالاترين مقاومت كششي در طبيعت و نيز مدول الاستيسيته (مدول يانگ) در حد تراپاسكال (TPa) را دارند. البته اين خواص فوق العاده يك توجيه علمي مشخص نيز دارد و آن هم به دليل هيبريد SP2 بسيار قوي پيوند كربن كربن در اين ساختار است كه قوي ترين نوع پيوند در طبيعت نيز مي باشد. شخصي به نام کیان 2 ]2[ اخيراً گزارش داده كه اضافه نمودن تنها 1 درصد وزني نانولوله كربن، باعث افزايش 25 درصدی مقاومت كششي فيلمهاي كامپوزيتي زمينه پلياستيرن مي شود. در تخمين خصوصيات نانولولههاي كربن بسياري از محققين از مدلهاي محيط پيوسته، بخصوص مدل ورق پوستهاي كه با ساختار هندسي نانولولهها نيز تطابق خوبي دارد، استفاده كردهاند. اگر چه اين تئوريها محدوديتهايي را نيز به همراه دارند اما نتايج خوبي را در مقايسه با نتايج كارهاي عملي و آزمايشگاهي از خود نشان داده اند، ضمن آنكه نسبت به ساير روشها بكارگيري آنها آسانتر ميباشد. در حالت كلي اندازهگيري خواص نانولولههاي كربن به صورت عملي و آزمايشگاهي در ابعاد نانو كاري بسيار دشوار و هزينه بر است.
————————————-
Iijima
Qian
البته طي سالهاي اخير يك ابزار بسيار قوي جهت تخمين و بررسي خواص مكانيكي نانولولهها با دقت بسيار بالا مورد استفاده قرار گرفته است كه شبيه سازي به روش ديناميك مولكولي 1 نام دارد. اين روش ابزار مناسبي براي رها شدن از دشواريهاي روش تجربي و تاييد نتايج به دست آمده توسط تئوريهاي تحليلي مي باشد. تحقيقات انجام گرفته بر روي نانولولههاي كربن به دليل خواص فوق العادهي گزارش شده آنها، متعدد و گوناگون مي باشد. افراد مختلف همواره سعي نموده اند كه با تئوريهاي جديد و روشهاي سادهتر به نتايج دقيقتري دست پيدا كنند. بر اين اساس خصوصياتي همچون مدول يانگ، ضريب پواسون، روابط تنش-كرنش و مقادير آنها، تنش ماكزيمم، كرنش شكست و… همواره مد نظر محققين بوده است. اولين آزمايش براي اندازهگيري مدول الاستيسيته در نانولوله كربن چند ديواره مقدار 9/0 ± 8/1 TPa را نتيجه داد ]3[ و پس از آن وانگ 2 ]4[ مقدار كمي كمتر 59/0 ± 28/1 TPa را گزارش كرد. یو 3 ]5[ مقاومت كششي و مدول يانگ نانولوله كربن تك ديواره را به ترتيب در بازه ي: 63 – 11 GPa و 95/0– 27/0 TPa يافت. کریشنان 4 ]6[ نيز مدول الاستيك نانولوله كربن تك ديواره را در محدوده ي قطر 5/1 – 1 nm براي 27 نانولوله در حدود 25/1 TPa اندازه گرفت. لو 5 ]8و7[ و لییر 6 ]9[ نيز به ترتيب با مدلهاي ثابت نیروی تجربی 7 و محاسبات اصول اولیه 8 مدول يانگ را 97/0 و 1 TPa به دست آورده اند. همه نتايج فوق حتي با در نظر گرفتن خطاي آنها نشان مي دهند كه خواص مكانيكي نانولولههاي كربن بسيار بالاست.
———————————————-
Molecular Dynamic (MD)
Wong
Yu
Krishnan
Lu
Lier
Emperical force Constant model
ab initio
Srivastava
از ديگر كارهاي انجام شده مي توان به تحقيقات سری واستاوا 9 ]10[ براي نانولوله كربن (0و8) با استفاده از روش ديناميك مولكولي اشاره نمود كه نشان داده است اين ساختار مي تواند تا 12درصد فشرده شود و تحت چنين محدوديت الاستيكي، تنش در رنج 125 – 110 GPa ميباشد. در سالهاي اخير اكثر تحقيقات بر روي بارگذاري فشاري و تركيبي به منظور بررسي كمانش ساختار نانولولهها متمركز شده اند و بدين منظور كارهاي انجام گرفته بر روي بارگذاري كششي بسيار محدود مي باشد. از آنجا كه نتايج بارگذاريهاي فشاري و کششي در نانولولههاي كربن كاملاً متفاوتند (به دليل اثر بر هم كنشهاي دافعه و جاذبه در اين ساختارها كه ماهيت و مقدار متفاوتي دارند)، بنابراين همچنان كارهاي تحقيقاتي بر روي اين ساختارها تحت بار كششي مطلوب محققين بوده و هم اكنون نيز در حال بررسي مي باشد.
در اينجا كمي بيشتر به جزئيات هندسي و آشنايي با اساس روشهاي مختلف به كار گرفته شده جهت تخمين خواص مكانيكي نانولولههاي كربن مي پردازيم. از نظر ساختاري نانولولههاي كربن در حالت كلي به دو دستهی کلی تقسیم می شوند که عبارتند از نانولولههای کربن تك ديواره 1 و نانولولههای کربن چند ديواره 2. يك نانولولهی کربنی تک جداره ميتواند از نظر شماتيكي ناشي از خم شدن يك ورقهي گرافيتي و تبديل شدن آن به يك لوله استوانهاي باشد و يك نانولوله کربنی چند جداره مجموعهاي از نانولولههای کربنی تک جداره هم مركز و هم راستا است كه درون يكديگر قرار گرفتهاند. راستاي تا خوردن و خم شدن ورقه گرافيتي، توسط برداري به نام کایرال 3 يا Ch(n,m) تعريف ميگردد. شكل 1-1 نمايانگر اين بردار در ساختار نانولوله مي باشد. با استفاده از اين بردار ميتوان انواع چيدمانهاي ساختار اتمي را تعريف نمود.
———————————————-
Single walled carbon nano tube (SWCNT)
Multi walled carbon nano tube (MWCNT)
Chiral
بر اين اساس بردار (n,n) معرف چيدمان آرمچیر1، بردار (n,0) معرف چيدمان زیگزاگ2 و كليترين حالت بردار (n,m) است كه معرف چيدمان کایرال مي باشد.

شكل 1-1. بردار کایرال در نماي شماتيك ساختار نانولوله كربنچیدمانهای ساختار اتمی نانولولههای کربن را به گونهای دیگر نیز میتوان تعریف نمود. با تعریف زاویه φ به عنوان زاویه ی بردار کایرال خواهیم داشت:
زاویه ° = 0φ معادل چیدمان زیگزاگ، زاویه ی= 30° φ معادل چیدمان آرمچیر و هر زاویهای بین این دو مقدار معرف چیدمان کایرال میباشد. چيدمانهاي معرفي شدهي فوق از ساختار اتمي نانولوله كربن، در شكل 2-1 مي توان ملاحظه نمود. نتايج بررسيها نشان مي دهند كه هم خواص مكانيكي و هم الكتريكي نانو لولههاي كربن به شدت به اين چيدمانها وابسته است.
————————————-
Armchair
Zigzag

شكل 2-1. الگوهاي ساختاري آرمچیر، زیگزاگ و کایرالرابطهی قطر نانولولههای کربن بر حسب اندیسهای آنها (n , m) در حالت کلی به صورت زیر میباشد [10]:
DSWCNT = 3πbm2+n2+mn (1-1)
که در رابطهی فوق b معرف طول تعادلی پیوند کربن – کربن در ساختار نانولولههای کربن بوده و مقدار آن از مینیمم نمودن انرژی پتانسیل بین اتمی به دست میآید که حدوداً 0.142 nm تخمین زده شده است. DSWCNT نیز معرف قطر نانولوله کربن تک دیواره بوده و n , m نیز اندیسهای نانولوله میباشند. رابطهی فوق را می توان برای دو چیدمان زیگزاگ و آرمچیر به صورت زیر نیز تعریف نمود:
Zigzag n=n , m=0 DSWCNT = 3πbn (2-1)
Armchair n=m DSWCNT = 3πbn (3-1)
در ادامه به معرفی یک ابزار قوی و کاربردی در تخمین خواص نانولولههای کربن به نام دینامیک مولکولی میپردازیم. روش ديناميك مولكولي بر اساس بيان انرژيهاي پيوندي و بر هم كنشهاي اتمي استوار است. در اين روش معمولاً پيوندهاي شيميايي، به صورت المانهاي داراي انرژي در نظر گرفته ميشوند كه اتمها به آنها متصل ميباشند. در بعضي از شبيه سازيها حتي پيوندهاي شيميايي را به صورت المان تير 1 در نظر گرفتهاند كه ميتواند تحت كشش و خمش قرار گيرد. همه اين فرضيات جهت سادهسازي به كار ميرود و هيچ كدام دقيقاً منطبق با واقعيت پيوند شيميايي نيستند.
در مبحث ديناميك مولكولي انرژي پتانسيل بين اتمي كل سيستم مولكولي، مجموع چند ترم خاص از انرژيهاي پيوندي و بر هم كنشهاي غير پيوندي مي باشد كه به صورت زير تعريف مي شود:
Etot = Uρ + Uθ + Uw + Uτ + UVdw + Ues (4-1)
Uρ = انرژي پيوندي ناشي از كشش پيوند
Uθ = انرژي پيوندي ناشي از تغيير زاويه ي پيوند با پيوند همسايه
Uw = انرژي پيوندي معكوس
Uτ = انرژي پيوندي پيچشي
UVdw = انرژي غير پيوندي حاصل از بر هم كنش نيروهاي وان در والس
Ues = انرژي غير پيوندي ناشي از بر هم كنش نيروهاي الكترواستاتيكي
شكل 3-1]2[ به خوبي معرف همه ي ترمهاي انرژي در فوق مي باشد كه به صورت درجه آزادي حركت مولكولها نمايش داده شده است.
———————————————-
Beam element

شكل 3-1. نمايش ترمهاي انرژي در صفحه ي گرافيتيدر حالت كلي انرژيهاي ناشي از بر هم كنشهاي غير پيوندي (UVdwو Ues)، در برابر انرژيهاي پيوندي مقادير ناچيزي دارند و اكثراً در محاسبات از آنها در برابر ساير ترمها صرف نظر ميگردد. در بين انرژيهاي پيوندي نيز هنگامي كه تغيير شكلها و انحرافات نانولوله كربن تك ديواره كوچك ميباشند، ترمهاي انرژي معكوس 1 و پيچش 2 به نسبت دو ترم ديگر مقدار كمي دارند و از آنها نيز مي توان صرف نظر كرد. پس از اين ساده سازيها در نهايت ترمهاي غالب، انرژيهاي پتانسيل كششي و تغيير زاويه مي باشند. بنابراين تحت تغيير شكلهاي كوچك تابع انرژي كل را ميتوان به صورت زير تخمين زد:
Etot ≈ Uρ + Uθ = 12iKi(dRi)2+ 12jCj(dθj)2 (5-1)
Ki = ثابت نيرو در اثر كشش
Cj = ثابت نيرو در اثر تغيير زاويه
dRi = تغيير طول پيوند
dθj = تغيير زاويه ي پيوند
———————————————-
Inversion
Torsion
توابع پتانسيل انرژي بين اتمي، توابع پيشنهادي توسط محققين هستند كه به جاي ترمهاي انرژي معرفي شده در فوق، در تئوري ديناميك مولكولي جهت شبيه سازي به كار ميروند. در حالت كلي 2 نوع پتانسيل بين اتمي داريم: پتانسيلهاي دو تایی 1 و چند پیکری ‌2. تفاوت اصلي آنها در مد نظر قرار دادن نيروهاي بر هم كنش غير پيوندي بين اتمي توسط پتانسيل چند پیکری است. در كل، پتانسيلهاي چند پیکری نسبت به دو تاییها خصوصاً در تغيير شكلهاي مولكولي بزرگ، توابع پتانسيل سودمندتري مي باشند. در چنين مواردي بر هم كنشهاي بزرگي در اثر انحرافات زياد اتمها از حالت تعادل رخ مي دهد و پتانسيلهاي چند پیکری با استفاده از يك تابع جدا كننده 3 ارتباط پتانسيل اتمي را با نزديك ترين همسايهي آن قطع مي كنند. انتخاب تابع پتانسيل مناسب در تحقيق مورد نظر يكي از پارامترهاي بسيار كليدي است كه تعيين كنندهي دقت نتايج حاصله در شبيه سازي ديناميك مولكولي مي باشد. در اينجا نمونههايي از توابع پتانسيل رايج را در تحقيقات علمي معرفي ميكنيم:
2-1 تابع پتانسيل مورس اصلاح شده 4:اين تابع پتانسيل يكي از توابع پتانسيل ساده سازي شدهي چند پیکری است كه كار با آن راحت بوده و قابليت تطبيق خوبي را با نرم افزار و روشهاي المان محدود دارد. اين تابع پتانسيل توسط بلیشکو 5 ]11[ در شبيه سازي شكست نانولوله تحت بار محوري، ژیائو 6 ]12[ براي پيش بيني خواص مكانيكي نانولوله كربن، ژائو 7 و سان 8 ]13[ براي پيش بيني سفتي و مقاومت نانولوله كربن تك ديواره به كار رفته است.
———————————————-
Pairwise
Many-body
Cut-off function
Modified Morse potential
Belytschko
Xiao
Zhao
Sun
تابع پتانسيل مورس اصلاح شده ]11[ به صورت زير تعريف ميگردد:
(6-1)
که متغیرها در آن به صورت زیر تعریف میشوند:
Estretch = انرژي پيوند در اثر كشيدگي و تغيير طول پيوند
Eangle = انرژي پيوند در اثر تغيير زاويه ي پيوند
r = طول جاري پيوند
θ = زاويه ي جاري پيوند با پيوند مجاور
ساير ثوابت نيز در زير داده شدهاند:

که در آن r0 طول تعادلی پیوند کربن – کربن در ساختار نانولوله بوده و ثوابت De و β نیز از مشخصات فیزیکی ساختارهای کربن، گرافیت و الماس به دست میآیند.
3-1 توابع پتانسيل ترسوف-برنر 1 و ترسوف 2:اين توابع پتانسيل نيز بسيار كاربردي بوده و براي نمونه براي مدل كردن بر هم كنشهاي پيوندهاي C-C و Si-Si به ترتيب مي توان از توابع پتانسيل ترسوف-برنر ]14[ و ترسوف ]15[ استفاده نمود.
این توابع به صورت زير تعريف ميگردند:
(7-1)
bij = j تاi ترم كوپلينگ پيوندی از اتم
bij (0.5bij + 0.5bji) = مرتبهي تجربي پيوند
fc(rij) نیز تابع قطع كننده است که به صورت زیر تعریف میگردد:

Rij و Sij به ترتیب محدودههای پایین و بالای تابع قطع کننده میباشند. سمالکورپی 3 ]16[ پیشنهاد میکند که به منظور تقریب بهتر بر هم کنشها و محدود نمودن نیروی لازم جهت شکست پیوند، Rij = 0.18 nm و Sij = 0.2 nm باشد.
———————————————-
Tersoff-Brenner
Tersoff
Sammalkorpi
4-1 توابع پتانسيل نسل دوم مرتبه پیوند تجربی واکنشی 1 و لنارد جونز 6-12 2 :تابع پتانسيل نسل دوم مرتبه پیوند تجربی واکنشی ]19-17[ يك پتانسيل پيوند كووالانسي است. این تابع پتانسیل يكي ديگر از توابع پر كاربرد در ديناميك مولكولي مي باشد و اثر بر هم كنشهاي دافعه و جاذبهي پيوندي را در نظر ميگيرد كه بسيار در نتايج حاصله تاثير گذارند. اين تابع پتانسيل به صورت زير مي باشد:

(8-1)
(9-1)
که در آن:
VR(rij) = اثر بر هم كنش ناشي از نيروهاي دافعه پيوندي
VA(rij) = اثر بر هم كنش ناشي از نيروهاي جاذبه پيوندي
Cn,k = ضرايب لبه مکعبی3
ELJ = تابع پتانسيل لنارد جونز 6-12
———————————————-
Second generation of REBO
Lennard-jones 6-12
Cubic spline coefficient
و ثوابت به صورت زير ميباشند:

زماني كه با محدودهي گستردهاي از انحرافات و تغيير شكلها روبرو هستيم، بر هم كنشهاي غير پيوندي از طريق نيروهاي وان در والس تعيين ميگردد.
جهت مدل كردن اين بر هم كنشها از پتانسيل لنارد جونز 6-12 ]20[ استفاده ميشود كه به صورت زير ميباشد:
(10-1)
که ثوابت و مقادیر آنها عبارتند از:
εij = ضريب انرژي خوش عمق 1
σij = ضريب فاصله تعادلي
εic-c = 4.2038 × 10-3 eV
εisi-si = 1.744 × 10-2 eV
σic-c = 0.34 nm
σisi-si = 0.3826 nm
εi و σi تنها وابسته به یک اتم (مثلا Si یا C) میباشند.
———————————————-
Well-depth energy factor
نكتهي حائز اهميت اين است كه پتانسيل واندروالسي زماني در محاسبات وارد مي شود كه پتانسيل پيوند كووالانسي (در اينجا REBO) صفر باشد.
در این تحقیق که در حالت کلی به سه فصل اصلی تقسیم میگردد، ابتدا در فصل اول با استفاده از یک روش تلفیقی جدید به تخمین مدول الاستیک نانولولههای کربن تک دیواره زیگزاگ و آرمچیر میپردازیم و سپس در قسمت دوم بر اساس همان روش به بررسی رفتار مکانیکی هر دو نوع نانولوله کربن مذکور تحت بار محوری کششی خواهیم پرداخت. در بخش اول هدف ما معرفی روشی جدید بر پایه روشهای تحلیلی و تلفیق آنها با توابع پتانسیل اتمی دقیق با استفاده از فرضیات حاکم بر مسئله، جهت تخمین مدول الاستیک نانولولههای تک جداره میباشد. در بخش دوم نیز بر اساس روش تحلیلی مشابه آنچه در قسمت اول مطرح شد، به بررسی رفتار مکانیکی و نمودارهای تنش – کرنش حاصله با اعمال فرضیات ساده سازی مسئله، میپردازیم. با توجه به آنکه روشهای تحلیلی به خاطر فرضیات زیادی که در جهت ساده سازی شرایط مسئله به همراه دارند، لذا مشخصاً نمی توانند کاملاً و به طور دقیق رفتار مکانیکی نانولولهها را تحلیل نمایند و این مسئله به خوبی در نتایج بخش دوم نمایان میگردد.
البته با توجه به کاربردی بودن روش تحلیلی روند نمودارها و ناحیه الاستیک آنها تا حد قابل قبولی تخمین زده میشود اما نمی توان نتایج به دست آمده را به عنوان نتایج نهایی به دست آمده برای نانولولههای کربنی عنوان نمود. در حقیقت مطالب بخش دوم این پایان نامه بیشتر جهت مقایسه اختلافها و تاثیر عوامل چشم پوشی شده در نتایج نهایی میباشد. بدین منظور در بخش سوم ما به شبیه سازی نانولولههای کربنی تک جداره تحت بار محوری کششی با استفاده از یک مدلسازی کامپیوتری پرداخته ایم. بوسیله ی نرم افزار تخصصی لمپس که برنامه ای بسیار کاربردی در زمینه ی مدلسازی نانو ساختارها و مکانیک مولکولی میباشد، تحلیل رفتار مکانیکی نانولولههای تک جداره کربنی تحت بار محوری کششی انجام گشته و صحت نتایج به دست آمده نیز از طریق مقایسه با نتایج سایر کارهای مشابه تایید شده در مراجع علمی معتبر، مورد تایید قرار میگیرد. اکنون به شرح مختصری از روشهای به کار رفته در بخشهای اول و دوم این پایان نامه خواهیم پرداخت.
اصول روش تلفیقی مطرح شده در بخش اول این پایان نامه بر اساس استفاده از رابطهی انرژی کرنشی میباشد. در حقیقت ابتدا با یک تناسب ساده رابطهای را برای مدول الاستیک به دست آورده و سپس با استفاده از 2 تابع پتانسیل مورس اصلاح شده و ترسوف و فرضیات حاکم، روابط نیرو – جابجایی پیوندی را یافته و به کمک تکنیک خطی سازی و با فرض قرار داشتن در ناحیه الاستیک و تصور رفتار خطی برای نیرو و جابجایی پیوندی، در نهایت رابطهای را استخراج مینمائیم.
در مرحلهی بعد به تحلیل هندسی و نیرویی ساختارهای زیگزاگ و آرمچیر پرداخته و رابطهی به دست آمده را برای هر یک از ساختارها اصلاح نموده و در نهایت با مقایسه با رابطهی مرجع که از انرژی کرنشی مشتق شده است، رابطهی مدول الاستیک نانولولههای کربن تک دیواره برای هر یک از ساختارهای زیگزاگ و آرمچیر می یابیم. از موارد قابل توجه در این روش می توان به این موضوع اشاره نمود که هر 2 تابع پتانسیل به کار رفته در این روش در نهایت منجر به یک نتیجهی واحد میشوند. لازم به ذکر است که به دلیل استفاده از توابع پتانسیل انرژی دقیق و تلفیق آن با تکنیکهای تحلیلی، دقت نتایج در این روش بسیار مطلوب میباشد و نسبت به سایر تئوریهای تحلیلی به کار رفته تا به امروز، این تئوری را به نوعی می توان از هر جهت منحصر به فرد قلمداد نمود.
اساس روش به کار گرفته شده در فصل دوم این تحقیق نیز بدین صورت میباشد که با استفاده از توابع پتانسیل انرژی، نیروی وارده بر نانولوله را یافته و سپس با تقریب مرتبهی بالا برای توابع هارمونیک موجود با استفاده از بست تیلور آنها، روابط را اصلاح میکنیم. در نهایت نیز با استفاده از تئوری تحلیلی پوستهای میتوانیم روابط تنش – کرنش را محاسبه نموده و بر اساس آنها نمودارهای مربوطه را برای هر یک از دو ساختار زیگزاگ و آرمچیر ترسیم کنیم. لازم به ذکر است که برای ارتباط یافتن کرنش با تنش، میبایست با استفاده از تحلیل ساختاری چیدمانها رابطهی نیروی وارد شده بر نانولوله کربنی تک جداره را با جابجایی در اثر اعمال نیرو یافته سپس با جایگذاری آنها و حذف نیرو روابط تنش و کرنش به دست میآیند.
فصل دوم
(تخمین مدول الاستیک)
1-2 فرمولاسیون مرجعدر بخش اول این پایان نامه ما به تخمین مدول الاستیک نانولولههای تک جداره زیگزاگ و آرمچیر با استفاده از روش تلفیقی جدید مطرح شده خواهیم پرداخت. همانطور که در قبل بیان گردید اصول این روش بر پایهی رابطهی انرژی کرنشی برای ناحیهی الاستیک خطی و تلفیق آن با توابع پتانسیل اتمی و تحلیلهای ساختاری میباشد. بنابراین با فرض قرار داشتن در ناحیهی الاستیک خطی و صادق بودن قانون هوک با استفاده از رابطهی انرژی کرنشی خواهیم داشت:
E = u.V (2-1)
که در آن u چگالی انرژی کرنشی بوده و برابر با نصف حاصلضرب تنش کل در کرنش کل نانولوله یا به عبارتی u = 12σ.ε میباشد. V نیز حجم نانولوله بوده که برابر حاصلضرب مساحت سطح مقطع در طول نانولوله میباشد. با جایگذاری u در رابطهی (11) خواهیم داشت:
E = 12σεAL (2-2)
با استفاده از قانون هوک 1 برای تنش و کرنش (σ = Y.ε) در رابطهی (12) :
E = 12YALε2 (3-2)
که در آن E انرژی کرنشی کل، Y مدول الاستیک، A مساحت سطح مقطع نانولوله کربن تک جداره است که با تقریب مناسب می توان آنرا 2πrt (r شعاع نانولوله و t ضخامت آن میباشد) در نظر گرفت، L طول نانولوله و ε نیز کرنش اعمال شده بر کل نانولوله میباشد.
———————————————-
Hook’s law
اکنون با تعریف ضریب γ به صورت زیر، رابطهی انرژی کرنشی را نیز میتوان به شکل زیر بازنویسی کرد.
γ = 12YAL (4-2)
E = γε2 (5-2)
ضریب γ به منظور تسهیل در محاسبات و مقایسهی بهتر نتایج تعریف شده است. اکنون میخواهیم با استفاده از رابطهی به دست آمده برای انرژی کرنشی کل و کرنش اعمال شده تحت بار کششی تک محوری بر نانو لوله، رابطهی نیرو – جابجایی کل را به دست آوریم. سپس با استفاده از این رابطه به عنوان یک فرمول مرجع میتوانیم روابط به دست آمده از تحلیل ساختاری را با این فرمول مقایسه نموده و مدول الاستیک مربوطه را به دست آوریم.
بدین منظور در رابطهی (5-2) کرنش را بر حسب جابجایی کل نانولوله بازنویسی میکنیم.
ε = δLL (6-2)
E = γL2(δL)2 (7-2)
که در آن δL تغییر طول یا جابجایی کل و L طول اولیهی نانولوله میباشد.
برای به دست آوردن نیروی کل وارد شده بر یک انتهای نانولوله، میتوان از رابطهی (7-2) بر حسب تغییر طول کل مشتق گرفت.
P = 2γL2(δL) (8-2)
P نیروی کل وارد شده بر یک انتهای نانولوله میباشد. این رابطه در این تحقیق به عنوان یک فرمول مرجع جهت استخراج مدول الاستیک در نظر گرفته میشود. در حقیقت با استفاده از رابطه (8-2) و مقایسهی آن با نتایج حاصل از تحلیلهای ساختاری ضریب γ را یافته و با استفاده از آن مدول الاستیک حاصل میگردد. بنابراین رابطهی مدول الاستیک و γ را نیز با استفاده از رابطهی (4-2) و A = 2πrt میتوانیم به صورت زیر در نظر بگیریم.
Y = γπrLt (9-2)
1-1-2 توابع پتانسیل انرژیدر این تحقیق ما جهت یافتن نیروهای پیوندی و ارتباط آنها با تغییر طول پیوند، از توابع پتانسیل انرژی استفاده مینمائیم و در نهایت رابطهی مورد نظر را با فرض رفتار خطی نیرو – تغییر طول پیوند به دست خواهیم آورد. بنابراین از دو تابع پتانسیل مورس اصلاح شده و ترسوف برای این منظور استفاده خواهیم کرد.
روابط توابع پتانسیل انرژی مورس اصلاح شده و ترسوف در بخش مقدمه به طور کامل تعریف شدهاند اما در اینجا مجدداً آنها را به همراه جزئیات و فرضیات مرتبط با این تحقیق تعریف مینمائیم.
2-1-2 تابع پتانسیل مورس اصلاح شدهEtotal = Estretch + Eangle (10-2)
Estretch = De ((1- e-β(r-r0))2-1) (11-2)
Eangle = 12Kθ (θ-θ0)2(1+Ksextic(θ-θ0)4) (12-2)
مقادیر ثوابت نیز در بخش مقدمه (مجموعه روابط (6-2)) به طور کامل ذکر شده است. با توجه به آنکه رابطهی بین نیروی کششی و تغییر طول پیوند در راستای نیروی اعمالی برای ما اهمیت دارد لذا از ترم تغییر زاویهی پیوندی صرف نظر نموده و فقط انرژی ناشی از کشیدگی را بررسی خواهیم نمود. در رابطه (11-2)، r طول پیوند در اثر اعمال کشیدگی و r0 طول اولیه پیوند میباشد.
3-1-2 تابع پتانسیل ترسوفE = fc(rij)[VR(rij) – bijVA(rij)] (13-2)
VR(r) = DeS-1e-2Sβ(r-Re) (14-2)
VA(r) = DeSS-1e-2Sβ(r-Re) (15-2)
که در آن VR و VA به ترتیب انرژیهای دافعه و جاذبهی پیوندی، bij ترم کوپلینگ پیوندی بین اتم i و j ، fc تابع قطع، r طول پیوند در اثر اعمال کشیدگی و Re نیز طول اولیهی پیوند کربن – کربن در ساختار نانولوله میباشد. مقادیر سایر ثوابت نیز به صورت زیر گزارش شده است:
S = 1.22 , Re = 0.139 nm , β = 21 nm-1 , De = 6 eV
همانطور که قبلاً اشاره شد ثوابت De , βS , Re , نیز از مشخصات فیزیکی ساختارهای کربن، گرافیت و الماس به دست میآیند. با تقریب مناسب میتوان مقادیر r0 و Re را در توابع پتانسیل فوق برابر با مقدار به دست آمده برای طول تعادلی پیوند کربن – کربن در ساختار نانولوله یعنی 142/0nm در نظر گرفت. این مقدار از مشتق گرفتن از انرژی پتانسیل اتمی بر حسب طول پیوند به دست آمده و توافق بسیار خوبی با طول تعادلی شناخته شده پیوند کربن – کربن در ساختار گرافیت یعنی 144/0 nm دارد. بنابراین میتوانیم عبارات r-r0 و r-Re را در توابع پتانسیل فوق برابر با تغییر طول پیوند یعنی δb در نظر بگیریم. همچنین با مقایسه و تبدیل واحد ملاحظه میگردد که مقادیر ثوابت De , β را نیز در تابع پتانسیل ترسوف میتوان با مقادیر به دست آمده برای آنها در تابع پتانسیل مورس اصلاح شده با خطای ناچیزی برابر در نظر گرفت. بنابراین با در نظر گرفتن موارد ذکر شده در فوق محاسبات را با تابع پتانسیل مورس اصلاح شده آغاز میکنیم.
4-1-2 فرمولاسیون با استفاده از تابع پتانسیل مورس اصلاح شدهبا فرض آنکه نیروی f نیروی منتجهی پیوندی و δb تغییر طول پیوند ناشی از آن باشد، ابتدا با مشتق گرفتن از تابع پتانسیل مورس اصلاح شده (رابطه (11-2)) خواهیم داشت:
f = 2Deβ(1 – e-βδb)e-βδb (16-2)
همانطور که ملاحظه میگردد رابطهی بین نیروی f و تغییر طول پیوند δb به صورت توابع هارمونیک و غیر خطی فوق میباشد. در اینجا ما با استفاده از یک تکنیک خطی سازی میخواهیم رابطهای خطی را بین f و δb به دست آوریم. در شبیه سازی میتوان پیوندهای C-C را در ساختار نانو لولهها به صورت المانهایی دارای انرژی فرض نمود که در اثر اعمال نیرو، تغییر طول آنها به صورت خطی میباشد. این فرض تطابق خوبی با فرض قرار داشتن در ناحیهی الاستیک خطی و صرف نظر نمودن از چرخشهای پیوندی دارد چنانکه در بسیاری از تحقیقات نیز پیوندهای C-C را به صورت المانهای الاستیک تیر و یا المانهای فنری شبیه سازی نمودهاند و نتایج مطلوبی را نیز به دست آوردهاند. بنابراین ما نیز در اینجا فرض مینمائیم که پیوندهای C-C المانهای الاستیک دارای انرژی میباشند. در نتیجه با به کار بردن بست تیلور برای توابع هارمونیک به دست آمده و با صرف نظر نمودن از ترمهای مرتبه بالا و جایگزینی نتایج در رابطه ی (16-2) خواهیم داشت:
e-βδb = 1 – βδb + O(δb2) – … (17-2)
e-2βδb = 1 – 2 βδb + O(δb2) – … (18-2)